漫谈力学

认识力学，不应该把力学孤立出来单独理解。力学的本质与特征是通过与相关学 科的比较逐渐形成并明晰的。力学与数学、工程有着天然、不可分割的紧密联 系，与数学学科相比，力学是应用学科；与工程学科相比，力学是几乎所有工程 学科的理论基础，具有自然哲学的研究传统；正是这种特性使力学成为了数学与 工程得以互通的桥梁。

其次，对力学的理解不应是一成不变的。准确的说，力学也是一个历史的概念， 它的内涵随时代的变化而不断发生变化。亚里士多德时代，力学与数学无关，是 纯粹的思辨；伽利略将数学定量分析应用于运动学开始，力学才变成了精密科 学；直至牛顿力学、拉格朗日分析力学的建立，力学的发展程度越高，与数学的 联系也越加紧密。

随着时代的发展，越是大型工程对力学分析的依赖越高，大型舰艇、大跨度桥 梁、超高建筑、高铁、空间技术等等领域越来越依赖于力学理论的发展。本文首 先将力学视为数学、工程之间的桥梁，讨论力学与数学、工程之间的紧密联系， 然后简述力学各分支学科的发展，以此构建力学的基本框架。

一、力学与数学的密切联系

数学和力学这两个学科，有点像亲姐妹一样，她们结伴成长。在历史发展的长河 中，主流数学和力学的发展总是同步的。最著名的数学家一般也是最著名的力学 家。

——武际可《最著名的数学家一般也是最著名的力学家》

阿基米德 （Arch imedes, 前 287 年 前 212 年） ，确 立了流体静力学的基本原理

（阿基米德定律） ，提出了杠 杆原理等，被后人誉为 ”力 学之父”。

在数学上 ，他给出曲线 围成简单图形的体积和重心 的计算方法，从而引进了简 单的极限概念。

牛顿 （ Isaac Newton ,

1643 1727） ，力学上发现 了万有引刀；提出的牛顿三 是律成为经典力学的墓础；

《自然哲学的数学原理》 成 为力学发展史的里程碑。

数学上发现了二项式 走理，创立了微积分，在解 析几何、数僵方法等数学领 域中均有丰硕的成就。

二、力学与工程的密切关系

从过去100年来力学发展情况看，力学是一门处理宏观问题的学问。它是用理 论，通过具体数字计算一个个实际问题。这些问题在过去都来自工程。

——钱学森《我对今日力学的认识》

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纳维 （Claude-LouisNavier , 1785年 1836 年） ，法国刀学家，

1824-1826 年，采用理论计算设计

了一座悬索桥，改变了桥梁工程领 域单凭经验设计建造用桥的传统。 上图为纳维设计的悬索桥，及翼桥 墩部台。

三、牛顿力学的创立

从古希腊自然哲学到17世纪力学发展，主要以天体力学和牛顿力学为代表， 1687年牛顿发表《自然哲学的数学原理》，标志着牛顿力学的确立。

亚里士多德 （A 「istotl e，前 384前 322） ：是古希腊自然 哲学发展的集大成者，｛刨寄自然哲学进行了台科，使得科学 的发展有了学科针对性。在力学方面的贡献主要集中在 《物 理学》 中，尽管存在一些错误的结论，但翼学术思想对于力 学学科的发展具有重要的价值和意义。

伽利路 （Galile。Galilei ,1564 ”1642） 是淫生盖亚里士多德物理学与宇领刀学的班要人物，比

萨斜塔吉9）；；体与斜面实主盘震动了汪里立多德的权威，总结出自由落体定律、惯锥律和伽利路馆 对性原理等推翻了亚里士多德物理学的许多撼断．奠定了经典刀学的基础，而他将定量分析引

入实验，便提成为近代实验科学的奠基人 被誉为 ”近代为学之父”，为年预理论体系奠定了基础．

Jt骨弱和付芷梳阿拉总。 开窗勒（J。hannes Kepi町，

1571-1630） 行星运行三定

律．

1.每一个行墨都iB备 白的键因轨道环绕太阳．而 太阳缸子衡阳？个焦.r#a;

2. 在德等时间内，太

阳租运动中的行星的连线

3. 绕以太阳为焦点的确囚轨iti运行的行罢，只椭圆轨il:i半t是

$曲的立方与周期的平方之比是一个常st.

｛向量半径｝ 所组泣的面积 徊等；

四、最速降线与变分法

约翰∙伯努利 (Johann Bernoulli, 1667~1748) 1696年向全欧洲数学家挑战，提 出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较 高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”科学家对该 问题的研究导致了变分法的诞生！

1630 年，伽利略在做斜面实验时发现，两个相同的4

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向终点，最快的路径并不是直线而是一条曲线。

E伽利略错误的认为是圄的一部分。

施救人员

为了说明这个问题，先来看一个河中救人的 例子。假设左国申奇人落水，为了尽快将人求出， 施救人员一般会先在岸上跑到距离落水者最近 的 C 点，然后在跳入水中游泳到达落水者处， 即选择路径 2 进行施放。而不是选择直线路径 1 进行施救。这是因为陆地上跑的快，就多跑一段， 游泳的速度慢就少游一段。因此，路径与速度密 切直接相关。

五、刚体运动的描述

牛顿力学主要解决了质点运动和相关力学问题，而刚体力学主要是在1765年欧 拉发表的《刚体运动理论》后逐渐形成并发展起来的。

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欧拉 （Leonhard Euler, 1707-1783 ） 最阜 （ 1760 年） 用进动角、章动角和自转角 （合称欧拉角） 描述了刚体在 三维欧氏族空间的绕定点运动。如上国所示，α 为进动角， F为童动角，y 为自转角，并给出了刚体绕定点的运动方程。

A, B气 C 分别为刚体 对伴 随坐标 系 二个 坐标 轴的转动惯量 ，(I);I.； 角速 度向堂，其在伴随坐标系 中的分量分别为 p , q,,.

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六、分析力学的发展

分析力学是有别于牛顿力学体系的新体系，其特点是对能量与功的分析代替对力 与力矩的分析。1788 年，拉格朗日完成的《分析力学》标志着分析力学体系的 建立。

1725 年约翰 伯努利：在一切 力的平衡中，不论它们如何 作用．正能量的第I将总是等 于负能量的总和。

19 世纪初J科里奥利给出的 功原理描述：在迎想完整的 约束中，主动力在位移上 所作的总功为零。

1743年达朗贝尔提出了求解 约束系统动力学问题的一个 普遍原理一达朗贝尔原理。

在分析力学中，虚功原理、达 朗贝尔原理成为两大革妥理 论基础。

七、连续介质力学-流体力学

流体力学的发展大致可分为四个阶段：

萌芽阶段（16世纪以前）；

形成阶段（文艺复兴-18世纪中叶）；

发展阶段（18世纪中叶-19世纪中叶）；

流体力学的飞跃发展（19世纪中叶以来）。

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在萌芽阶段，流体利用主要以水利、造船等工程为依托， 人们逐渐和累流体力学的知识经验，如中国的都江垣，罗马 古城的下水道系统，在今夫看来都非常先进 ．

公元前 250年，阿基米德的 《论浮力》 丑于流体力学进 行了较为系统的总结，奠定了流体力学的基础。

八、连续介质力学-固体力学

固体力学的发展是从弹性力学开始的，推动固体力学的发展主要有两个方面：

一方面是工程的推动，桥梁道路建设、造船、军械制造等迫切需要了

解固体的变形与破坏的机理；

另一方面，是对光波传播机理的探讨要求了解弹性波的传播理论。

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伽利略 《关于两门新科学 1678 年，胡克在 的对话》 （ 1638年） 申研究悬 《论弹簧》 中指出， 譬梁的强度，暗示中性层位于在弯曲时杆的一侧

梁的下面。 的纤维伸长，另寸则

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1686 年，马路

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特在 《论水和；民他

流体的运动》 中也

门战 ｜ 认为中性层在梁的

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马略特的插图

九、冲击动力学

冲击碰撞是日常生活中常见的力学现象，同时又与航空航天、汽车、防护工程、 国防工程息息相关。冲击动力学是专门研究在短暂而强烈的动载作用下材料行为 和结构响应的一门科学。

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最初人们采用冲击动载荷系数，将冲击

问题等效为静力学｜可题来处理：

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1872 年，John Hopkinson 为了测走钢丝在 冲击加载下的强度，在剑桥大学工程实验室设计 了一个演示实验。如上国左，讨论硅码下落高度 对钢丝断裂特性的影响，发现当下落高度不太高 时，上端断裂 ，太高时下端断裂。

十、非线性科学的发展

迄今为止，我们处理的问题多以线性为主，线性系统的整体性态通常满足叠加原 理，从而比较容易分析，但也限制了它的适用范围。在自然科学和工程技术里， 不少现象不能采用线性模型描述。非线性就是不满足线性叠加原理的性质。人们 真正关注的，是仅用线性理论所不能解释的那些非线性现象。非线性科学就是研 究各类系统中非线性现象共同规律的一门交叉科学。

非线性科 学中较成 熟的部分是非线性动力 学。1881 年，法国数学家、

力学家亨利 ·庞加莱 （Jules HenriPoincare ,1854

-1912） 发表的关 于微分

方程所确定的积分 曲线 的论文开创了非 线性 问 题的定性理论研究 。

。 单摆是一种理 想、的

物理模型，当摆角小于 5。 时，其运动微分方程可近 似为线性方程 。当单摆做 大幅度摆角运动时，其运 动微分 方程为如下的 非 线性方程：

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1918 年，Georg Duffi暗(1861-1944） 在经典 力学中引入了一个描述具有驱动力单摆的非线 性 动力学方程，成为非线性系统的经典方程杜芬

方程：

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此方程可以产生典型 的倍二周期分岔现象。

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1963 年，美国气象学家浩伦兹（巳 N. Lorenz) 将描述大气热对流的非线性偏微分方程组通过傅 里叶晨开，大胆地截断而导出了描述垂直速度、 上下温差的晨开系数 x( t) ,y( t),z(t）的三维自治动力 系统。该系统对初僵非常敏感，j备伦兹当年只是 忽略了小数点4 位以后的数值，得到的结果就有 了相当大的偏差，甚至是完全相皮。这一初值敏 感性被形象地称为’蝴蝶效应＼ 巴西蝴蝶扇动翅 膀在美国引起德克萨斯的隐凤。

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十一、力学的交叉学科

20世纪以来，力学的发展与其它学科的交叉和融合日显突出，形成了许多力学

交叉学科，如生物力学，环境力学，交通力学，爆炸力学等，同时，人类社会和 经济发展的更高需求将不断促进力学与其他学科的交叉，促进力学交叉学科发展 到一个崭新的阶段。

结束语

基尔霍夫说：“力学是关于运动的科学。”如果把静止也看作是运动的一种特殊 形式，世界上的万物已经找不出除了静止和运动还会有什么状态，力学为认识这 些物质（或物体）的状态提供了基本完备的方法，力学广泛的适应性使得力学具 有了自然哲学的属性。

力学到底在人类科技进展中扮演着什么样的角色？

在那些里程碑式的科技进步中，如蒸汽机代表的蒸汽时代，电力代表的电气时 代，信息代表的信息时代，以及人们预测的以互联网、智能技术、生物技术为代 表的新一轮技术革命所催生的新一轮产业革命，似乎力学都没有参与。

其实不然，蒸汽机技术的成熟得益于牛顿力学的完善；电气时代得益于发电机和

电动机的发明，而熟悉发电机和电动机工作原理的人可能不会说与力学无关，电 子工程师们也调侃“如果没有掉入力学和热学的坑里都不好意思说自己是电子工 程师”，信息技术可以分为硬件和软件两个部分，硬件自然少不了力和热，软件 编程部分也会利用力学模型去规划算法；人工智能是新一轮产业革命中重点领 域，而提到人工智能很多人会和信息技术、软件编程相联系，以机器人技术为 例，如果没有力学先规划出机器人的功能动作，并给出这些动作的数学描述，信 息技术和编程就无法开展。

这大概就是马克思所谓的“力学是‘大工业的真正科学的基础’”(《剩余价值 理论》第二册，116)。很多工程问题随着讨论的深入，一般都会成为力学问 题，力学问题解决了，其它问题也就迎刃而解。可能正因如此爱因斯坦说：“尽 管我们今天确实知道古典力学不能用来作为统治全部物理学的基础，可是它在物 理学中仍然占领着我们全部思想的中心。”(《物理学与实在》)